深刻认识数学特征•全面指导数学教学
作为一名数学教师，尤其是年轻教师，要想真正意义的驾驭数学课堂，我认为首要的任务是要对自己所教的学科有个总体的认识和正确的观点，至于正确和深刻理解数学学科的概念，不能单从一些片断知识中形成，而应了解这门科学的基本特征和本质．
那么数学的特征有哪些？
1．数学的特征，第一是概念的抽象性，第二是内容的精确性，或者说是逻辑的严谨性以及它的结论的确定性．
抽象性在简单的计算中就已经表现出来，我们运用抽象的数字和字母，并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来，我们在课堂上学的是抽象的乘法表――数字的乘法表，而不是小朋友的数再乘上香蕉的数目，或者香蕉的数目乘上香蕉的单价等等．还有在几何中研究的是直线和平面，而不是拉紧了的绳子和平静的湖面．
数理逻辑的严谨性，数学推理所具有的精确性，对于每个懂得它的人来说，都是无可争辩和确定无疑的，“数学真理本身是完全不容争辩的”．在中学的课程中学生就已经很好地懂得了数学证明的这种精密性和确定性．难怪人们常说：“像一加一等于二那样的证明”，这里，数学关系式1+1=2正是作为一个不可反驳、无可争辩的范例．但是数学的严谨性不是绝对的，它在发展着；数学的原则不是一成不变的，而是变化着的，并且可能成为甚至已经成为科学争论的对象．例如对“方程
有无根”的讨论导致了数集的扩大，对平行公理“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”的驳斥带动了几何领域的飞速发展，产生了一门新的数学分支—非欧几何．
2．数学生命力的源泉在于应用的广泛性．
数学概念和结论尽管极为抽象，但却如我们所坚信的那样，“来源于现实必将服务于实践”，数学在其他科学中、在技术中、在全部生活实践中都有广泛的应用．
（1）我们几乎每时每刻在生产中、在日常生活中、在社会生活中运用着最普通的数学概念和结论，甚至并不意识到这一点．例如，计算日子或开支时就应用了算术，计算住宅的面积时就运用了几何学的结论．
（2）如果没有数学，全部现代技术都是不可能的．离开数学，任何技术就没有立足之基础，至于改进更无从谈起，可以说在新技术的发展过程中数学起着举足轻重的作用．
（3）几乎所有的自然科学都多多少少地利用着数学．“精确科学”—力学、天文学、物理学、以及化学通常都是以一些公式来表述自己的定律，在发展自己的理论时广泛地运用了数学工具．没有数学，这些科学的进步简直是不可能的．当然，力学、天文学和物理学对数学的这种需要，也影响和决定了数学的发展．
3．数学学科是思想和方法的结合
知识是人们在改造世界的实践中所获得的认识和经验的总和，它是人类文化的核心内容．在数学学科中，概念、法则、性质、公式、公理、定理等属于知识的范围，这些知识要素也都有其本身的内容．问题是，这丰富多彩的内容反映了哪些共同的、带有本质性的东西?实践和研究都已说明：这就是数学思想和数学方法．如果说数学知识是数学内容，可以用文字符号记录和描述，那么数学思想和方法则是数学意识，只能领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．数学思想的研究和学习，不仅是为了指导同学有效地运用数学知识探寻解题的方向和入口，将知识通过概括和比较上升为能力，更重要的是由于它与一般方法有着亲缘关系，所以对培养人的思维素质有着特殊的、不可替代的意义．所以在教育、教学的意义下，应该把数学思想和数学方法的教学摆在重要的位置上．
实际上，我国的中学数学教学大纲，对于数学思想和数学方法的重要性的认识也有一个从低到高的过程．例如：由教育部制订、1978年2月第1版的《全日制十年制学校中学数学教学大纲(试行草案)》，在
“教学内容的确定”的第(三)条中首次指出：“把集合、对应等思想适当渗透到教材中去，这样，有利于加深理解有关教材，同时也为进一步学习作准备．”这一大纲在1980年5月第2版时维持了上述规定．1986年12月第1版的《全日制中学数学教学大纲》，把上述大纲的有关文字改成一句话：“适当渗透集合、对应等数学思想”．1990年修订此大纲时，维持了这一规定．因此在教学中应该抓住数学思想和数学方法进行数学教学．
在我们对数学特征和本质有了深刻认识后，再看看实际教学中学习过程与教学策略方面的问题．在中学数学教学实践中，存在的一个问题是：数学教学更多的重视“教”而忽视“学”，重视教学方法、教学手段等的改革，而忽视了对学生学习规律、学习方法等的探索．这样，造成了目前数学教学虽费时较多，但教学效果并不太好，就此我谈谈自己的看法．
1．数学认知结构
所谓数学认知结构，就是数学知识结构与学生个体心理结构相互作用的产物，是学生头脑中的数学知识、技能按照自己的感知、记忆、表象、想象、思维等认知操作，组成的一个具有内部规律的整体结构，是数学知识结构“内化而来”的．数学知识经验系统是学生头脑中已有的数学知识、经验及其组织，它包括数学基础知识和数学技能两个要素．数学基础知识是学生头脑中已有的数学事实、结论性知识及其组织特征．它是学生经过数学学习后所形成的经验系统，包括数学概念，数学语言，数学公式、符号，数学命题，数学方法以及它们的组织网络．事实上，学生的数学知识经验越丰富，知识的组织越合理，就越容易同化外界输入的信息，并吸收它为自己的数学认知结构中的一部分．但另一方面，对于学生这个“初学群体”，数学知识经验系统更多的是制约着学生对新知识的吸收，尤其是当新旧知识体系发生冲突、出现问题时，作为教师，就应该正确解释这种矛盾产生的原因，帮助学生理解新知识的合理性和深刻性，最终让学生感觉到前后知识是和谐统一的，这样就有利于学生新的认知结构的建立，真正的学到知识．
2．数学学习过程的模式
对于数学学习过程，应在特定的学习情境中，在数学教师的主导下，学生主体对数学知识的认知活动过程，在这个过程中，学生的数学认知结构在学习数学的情感系统的参与和影响下，不断地对数学新知识进行认知操作，结果导致学生的数学认知结构和学习数学的情感系统不断地变化和发展，从而达到数学学习目标的要求．
数学情境是学生学习数学新知识的外部环境，它伴随着教师教学活动的深入而直接地、持续地与整个数学学习活动发生相互作用．所以教师应有意识的创设教学情境，课堂学习气氛，让学生积极的参与进来，这样才能收到好的教学效果．数学学习的准备可以分为认知准备和情感准备两个方面．认知准备即学生原有的数学认知结构，是学生进行数学学习的先决条件，情感准备是学生能否专心于数学学习过程中的心理条件，它一般由先前数学学习效果、先前其他学习、对数学学习价值的认识和数学学习动机、学习态度、情绪、意志等情感因素所决定的．学生有了适当的学习准备后，当数学信息(数学新知识)刺激大脑时，大脑就通过学习情景与数学信息发生相互作用，从而进入了学习的内化阶段． 内化阶段包括定向、联想、同化、顺应或强化几个心理过程．
在这里特别应注意强化阶段是数学新知识的进一步理解和巩固阶段，它是通过练习、形成性评价、小结、灵活运用等方式而实现的．
1．练习过程是学生把数学新知识初步运用于具体情境中的过程．通过练习，可以使他们对新知识的理解程度有明确的认识，从而起反馈作用；可以使他们对新知识的理解更完整化、具体化，从而进一步保持和长时间巩固新知识，并形成技能；同时，还有助于提高学生的学习兴趣，维持良好的学习动机．有时，练习还可以使学生产生整体感受，从而为领悟数学整体的突出性质——数学思想打下基础．所以课堂上典型例题的讲解、课外适量作业的布置是帮助学生学习和强化新知识的必要手段，教师应该精心的准备．
2．形成性评价是以检验学生对学习内容的领会程度为标准的，因而它应贯穿于数学新知识获得和保持过程的始终．教师对学生的课内评价可以通过观察、提问和形成性测试等手段进行．通过形成性评价，学生可以更好的了解自己对新知识的掌握情况，从而调节自己进一步努力的方向；同时，教师也可对症下药，采取补救措施．
3．小结就是在获得新知识的意义下，并通过练习后，用最简单、概括性最强的术语对新知识加以组织，使新知识变为具有概括性，能融合于已有知识经验中的基本概念、基本命题、公式甚至思想等，从而使新知识更加巩固．通过教师对新知识的精炼总结，有利于学生对知识的理解、记忆，使之系统化，而且具有更大的迁移价值，直接影响着后继学习和运用知识解决问题的能力．
4．新知识的灵活运用过程是指创造性地利用新知识去解决数学问题及其他问题的过程．实际上，解决问题是在对问题情景和题目条件的整体把握的情况下，利用原有的认知结构从整体的角度把握问题的实质，再结合数学知识经验调动各种数学思维成分．
总之，数学教学中的问题远不止这么多，我们应该在教学中及时地总结，不断地提高我们对数学教学的深刻认识．
“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生．