加强解题教学，培养学生数学学科自我监控能力
房金奎 天津一中 数学组
中文摘要
提高中学生数学学科自我监控能力，有利于学生数学能力的进一步提高，有利于学生素质的全面发展，有利于学生学习方式的转变。在解题教学实践中，我从以下几个方面来培养学生数学学科自我监控能力，并取得了较好教学效果。
1.暴露思维过程，传授解题策略
2.进行解题策略的训练
3.加强对解题过程监控的训练
4.加强解题后的反思教学工作
关键字词：
自我监控能力，解题策略，数学思想方法
所谓中学生数学学科自我监控能力，是指学生为了保证数学学习的高效和成功，而在整个数学学习过程中，将数学学习活动作为意识对象，对其进行积极主动的计划、检验、调节和管理，从而实现学习目标的能力。这种能力主要分为三个方面：一是学生对自己数学学习活动的计划；二是在数学学习活动中进行有意识的检验和反馈；三是对自己的数学学习活动进行有意识的调节，矫正和管理。［1］
长期的数学教学实践表明，多数学生在学习数学过程中存在兴趣不浓，方法不当，效率不高，负担过重等问题，他们思考片面、理解模糊、计算不准、思路不清，表达不规范，这些现象都是缺乏数学学科自我监控能力的表现。从认知心理学的角度来看，学生的学习过程主要是认知活动的过程，同时也是对自己的数学活动进行积极主动的计划、检验、调节和管理的自我监控过程，因此，改善学习方法，提高学习效率，发展中学生数学学科自我监控能力，是减轻学习负担，全面培养学生素质的有效途径之一。
加强解题训练是培养中学生数学学科自我监控能力的一项重要措施。我认为对学生加强解题训练，不仅要使学生掌握所学习的数学知识，更重要的是要置学生于问题解决的情境之中，促使解题者去分析题目中蕴含着的已知与未知的量，去发现隐藏着的许多各式各样的联系，从而把知识与问题联系起来，去伪存真，透过现象看到题目中的本质，去完满解决问题。通过这样一个不断地思考、分析、探索的过程，学生将获得积极的情感体验，培养了坚强的意志和吃苦耐劳，执着追求的精神，从而促使中学生的数学学科自我监控能力的进一步发展，使学生学会科学地思维，学会学习，学会创造，学会不断地完善自己。在解题教学实践中，我从以下几个方面来培养数学学科自我监控能力。
1.暴露思维过程，传授解题策略
如果我们将数学的解题过程稍做分析、归纳，不难发现，很多看起来不同的题目，都有着相似的解题思路、方式．把解题过程概括、提炼，就形成了数学学习最重要的内容---数学的思想和方法。指导学生抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，最终将数学思想方法升华到策略来指导解题，是提高中学生的数学学科自我监控能力的一条重要途径。
中学数学解题常用的解题策略有：
策略1 从最复杂的地方入手
何谓复杂？这里指：还能进一步化简的语言或式子，包括抽象的，不易理解的“专用术语”。他常常表现为不断的化简，如化简条件，结论，使问题更为具体，更为明确。
策略2 换种语言叙述问题如数形结合，用方程的语言叙述函数问题等等。
策略3紧紧抓住解题目标
解题的目的就是要实现解题目标。在寻找解题思路时，要紧紧抓住解题目标进行思考，目标需要我们做什么，我们就做什么，每一点都要有明确的目的，解题时不能盲目。
策略 4假设问题已经解决
在解题时，假设问题已经解决，就可以进一步找到题目中隐含信息，从而找到解题的航标。
策略5分解问题
把一个问题分解成几个小问题，或者把一个问题的过程分解为几个大的步骤，然后试着去解决它。
其中，策略1、策略2、策略4、策略5重点体现了转化的数学思想方法， “转化”是数学中最常用最基本的思维方式之一，中学数学解题过程实质上就是一个不断运用转换策略的过程。转化就是在分析解决问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，把复杂、隐蔽的问题转化为简单、明显的问题。转化的作用在于化未知为已知，化陌生为熟悉，化繁为简，化难为易，化抽象为具体，化一般为特殊等等。例如，解方程时的换元、消元和配方等，几何图形的分割组合，函数中的数形结合，还有分类讨论等等，都是转化思想的具体表现．
策略3重点强调了目标意识的作用。目标意识在解题过程中起着如下至关重要的作用：目标意识确定了思维的起点和方向；目标意识能引导思维的展开和深入；目标意识帮助思维的调整和优化。解题过程中，常常出现思维受阻或呈现多种可能的前进方向的情况，这时目标意识会时刻提醒解题者，运用观察、推理等手段对照目标及时调整思维的方向（思维受阻时）或优选前进方向（出现多种前进可能时），从而保证解题活动顺利进行或解题方案的最优化．目标意识监督思维的反思与矫正，目标意识强，即使获得了结果，也不会就此停止思维，而会花一定的时间，参照解题目标对其思维的过程进行反思，对所获得的结果重新审视，以确认或矫正结果，保证思维的正确性．由此可见，解题必须有明确的目的，如何实现问题的要求，是解题策略的首要问题，因此，解题时首先要明确目的要求，根据要求抓住关键，逐步转化变形，以使问题顺利解决。
教学实例：
例已知抛物线y=x2＋px＋q与x轴交于A、B，与y轴负半轴交于C，∠ACB=90°，
师：这是一道与几何图形有关的函数问题，首先应该做什么？
生：画简图。
（学生画完图后）
师：要求△ACB的面积，就是要求?
生：点坐标。
师：要求点坐标，就是要求?
生：抛物线解析式，（也就是要求p与q）
师：要求p与q，应该干什么？
生：抓相等关系列方程。
师：需要几个独立条件？
生：2个。
师：哪两个？
生：（经过深思熟虑）∠ACB=90°，
。
师：∠ACB=90°说明什么？
生：用射影定理，OC
=
OA
OB
师：怎样用
OC=
OAOB
，这两个条件？
生：线段化为点坐标。
师：考什么知识？
生：根与系数关系。
2. 进行解题策略的训练
在习题课上，要有目的地编制或精选练习题，创设需要学生进行深入思考的思维情境，引导学生采取相应的策略方法进行活动，也即要求学生依照教师提供的示范，总结的策略，结合自己的特点，进行解题策略练习，以便熟练掌握解题策略。同时，在练习中要随时注意提醒学生自觉地、灵活地运用相关策略和方法；通过各种反馈途径，对学生的自我监控水平不断的进行干预，促使学生反复练习，并逐步由他控转变为自控，实现自我监控的自动化。
例如，在教学实践中，我发现不少学生解题时不晓得在审题上花功夫，他们经常连题意也没有弄清就急于解答，而当解答受阻时，他们并不是退回来对题目重新考察，而是苦思冥想，原地徘徊，到头来却是“欲速而不达”． 针对这种情况，我在平时教学中，寓审题能力的培养于每一道题的教学中，强化学生审清题意的良好意识，使学生养成善于认清已知、明确所求、抓好关键词、挖掘隐含条件的习惯，从而提高解题能力．
在训练时我指导学生按以下两个步骤进行审题活动：
（1）捕捉有用信息．
指导学生读题时要先粗后细，充分地获取题目的信息，弄清楚题目中的已知条件和未知条件，将题目所提供的各类信息全面把握、审慎分析，分清主次。即要明确题目中蕴含了那几条重要信息；他们的内容是什么；其中哪一条信息最重要。
（2）记录并转译有关信息.
指导学生对题目信息按一定的顺序记录，并对有关信息进行分类和重新组合，其中重要的信息要作上标记。此外，还应训练学生有意识地用图形来反映信息，对某些表述得比较含蓄，不能直接加以利用的问题或信息，要转译为自己熟悉的、便于理解和应用的问题或信息．
在教学中，我精选了大量的含有隐含条件的题目、多解问题，以及考察转化思想、数形结合思想的题目，训练学生的审题能力。
通过训练，学生的审题能力有了明显提高。学生在审题中能够做到：更加全面深刻，更加细致准确．
3．加强对解题过程监控的训练
为了使学生实现自我监控的自动化，在练习中我随时注意提醒学生自觉地、灵活地运用相关策略和方法；通过各种反馈途径，对学生的自我监控水平不断的进行干预，促使学生反复练习，并逐步由他控转变为自控，实现自我监控的自动化。
例如在对学生进行解题思维策略的训练时，我要求学生采用自我提问的方式，将自己的解题思维过程作为自我监控对象，不断地对其进行积极而自觉的监控、引导和调节。通过不断地对学生进行强化，促进学生的自我监控过程成为一种习惯，不需要太多的意志努力就能随时对自己的解题行为进行调控。
（1）分析题意阶段：
我准确理解题了吗？（再把题仔细读一遍，特别是关键部分）
我把握了题目的整体了吗？（理清题目中各个数学对象的关系：哪些条件是未知的，哪些条件是已知的，有没有隐含的条件）
该题属于哪一类型？我过去见过这种题吗？它涉及那些概念、公式、定理？
本题要用到的数学思想方法是 “ ”；
本题要使用到的解题策略是 “ ”；
本题的关键词是“ ”；
本题的隐含条件是“ ”；
（2）解答习题阶段
我充分利用已知条件了吗？哪些还没有充分利用？（应优先考虑！）
我的解题思路正确吗？我的解题目标明确吗？
解本题还需要哪些条件（包括隐含条件）？
我想到几种解法（提倡一题多解）
（3）反思总结阶段
这道题与以前做过的题有何区别？其独特之处是什么？
我应用哪些技巧？都很恰当吗？能不能用更简洁的方法来解题呢？
我能举一反三吗？
4. 加强解题后的反思教学工作
提高学生的解题能力，除了做好审清题意、制定解题计划、实现解题计划等工作之外，解题后的反思也是一个不可缺少的重要环节．
所谓解题后的反思是指在解决了数学问题后，通过对题目特征、解题思路、解题途径、题目结论的反思来进一步暴露数学解题的思维过程，从而开发学习者的解题智慧，以达到事半功倍，提高中学生数学学科自我监控能力的目的．
在解题后，我训练学生进行以下四方面的反思：
(1) 反思题目特征
解完一道题后，通过反思题目特征，加深对题目特征的本质领悟，从而获得一系列的思维成果，这有助于增强中学生数学学科自我监控能力的敏感性．
(2) 反思解题思路
解完一道题后，应考虑能否根据该题的基本特征与特殊因素，进行多角度的观察、联想，找到更多的思维通路，这有助于中学生数学学科自我监控能力由局部向整体发展．
(3) 反思解题途径
在解完一道题后，应认真分析解题过程有没有思维回路，那些过程可以合并或转换，这样的反思，有助于缩短解题长度，从而培养了思维的批判性，促进中学生数学学科自我监控能力的发展．
(4) 反思题目结论
在解完一道题后，应思考根据此题要求解的结论，能否从其它的角度重新审视题目，得出更加简捷优美的解法，这样的反思，有助于提高中学生数学学科自我监控能力．
数学教育家波利亚曾谈到：在你找到第一个蘑菇时，继续观察，就能发现一堆蘑菇．[2]在问题解决之后，教师可根据情况，进行适当的一题多解、一题多变、多题组合，注意数学思想和方法的总结、提炼和升华，进一步拓展学生的思维平台，优化解题过程。不断地引导学生进行解题后的反思，使学生完成自我意识、自我评价、自我调整的过程，是提高中学生数学学科自我监控能力的重要途径．
实践表明，通过对学生加强解题训练，培养中学生数学学科自我监控能力，学生的自我监控意识明显增强，学习更加主动、更加积极；极大地提高了学习效率、学习兴趣和自信心，学生身心得到全面发展；大部分学生掌握了一定的自我监控的技能，经常进行解题后的反思，掌握了一定的数学思想方法，在解题时运用解题策略的自觉性有所增强，优化了思维品质，发展了数学能力。
参考文献：
[1]章建跃.中学生数学学科自我监控能力.上海：华东师范大学出版社.2003
[2]G.波利亚.怎样解题.阎育苏译.北京：科学出版社.1982