立体几何:三垂线定理

数学学科 洪力生

课题：三垂线定理

目的：1. 掌握三垂线定理及逆定理以及证明.

2. 深刻认识这两个定理的逻辑体系

3. 掌握定理的初步应用以及重要规律.

重点: 两个定理的证明及应用规律.

难点: 图形关系相对性的理解.

过程:

1. 引言

今天我们一起来讨论一个立体几何中十分重要的定理―――三垂线定理。

提问：1线面垂直的判定定理是什么？

　　　2运用上述定理解答一个问题：如图，Ｐ在　　　　

　　　　的射影Ｏ是的垂心，问异面直线

　　　　与所成的角是多少度？与所成的角呢？

点评：本题实质用线面垂直证线线垂直，这就提供了一种证线线垂直的间接方法。在空间直线单元中也曾介绍过异面直线所成角说明两直线垂直的问题，但我们更希望有一种线线垂直的直接证法。

此题由证出。那么，ＣＤ与ＰＣ具有什么关系？我们猜想是不是任何情况下，一条直线与其射影垂直，就必定与该斜线垂直呢？

２．新课

1）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直．

已知：分别是平面的垂线，斜线，是在内的射影，

求证：

证明：

三垂线逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直．

2）三垂线定理和逆定理的符号表示：

　　　是平面的一条斜线，是在内的射影，，则

3）注：

（１）三垂线定理及逆定理是研究线线垂直关系的，，之所以没放在空间直线研究，是因为须用线面垂直的知识．另外，原逆的定义是有道理的，原定理是判断空间直线的垂直，是立体几何的问题，也符合从平面到空间的认识规律，逆定理则相反．

（２）三垂线定理应有三条垂线：是平面的垂线，是的垂线，也是的垂线．反映了三条垂线的关系．在＂一面、四线、三垂直＂中，平面的垂线是关键，是应用时首先应找的条件．

（３）三垂线定理可作为线线垂直的判定定理．

　　　　　线线垂直判定方法

（４）定理也说明，平面内必存在与该平面的斜线垂直的直线，可以相交，也可以异面．

可有四种情况，图形特征为：

3．应用举例：

例１．在正方体中，　　　　　　　

（１）试判断的位置关系

（２）试判断的位置关系

（３）与垂直的各面对角线有几条？

例２．已知：垂直于平行四边形所在的平面，

　　　　　　．

　 求证：1四边形是正方形　　　　　

　　　　 2

4．练习：

如图，正六边形，，，

求：(1)点到直线的距离；

(2) 点到直线的距离；

(3)求直线与所成的角．

小结：

本节同学们学习了三垂线定理及逆定理和它的简单应用。定理提供了证明空间或平面中两条

直线垂直的方法，因而无论是在有关角、距离、面积、体积的计算中，还是在有关平行或垂直关系

论证中，往往要应用这两个定理。掌握这两个定理的三个垂直关系和图形特征以及这两个定理的区别，

是能正确、灵活运用两个定理的前提，也是这节课学习的基本要求，关于这两个定理的广泛应用下节

将进一步学习。

作业：第28页 习题9.4-1.2.3.4.5